ОЛ ВЗМШ при МГУ: Отделение математики

Основные темы обучения

Арифметика и алгебра

Углубление школьного курса. Привитие культуры вычислений. В курсе алгебры учащиеся знакомятся, например, с такими понятиями, как среднее квадратическое и среднее гармоническое, которые остаются за рамками школьной программы. Изучение темы "Графы" является по сути пропедевтикой комбинаторного метода.

Логические задачи. Суммы, треугольник Паскаля, неравенства. Геометрическая иллюстрация неравенств. Принцип Дирихле. Четность.

Графы и таблицы.

Целые числа (введение в теорию чисел)

Выполняя задания по этой теме, учащиеся не только повторяют понятия, усвоенные в 5-7 классах, но и познакомятся с иными подходами при вычислении НОД с помощью алгоритма Евклида, узнают как найти количество чисел, меньших N и взаимно простых с N, познакомятся с иными системами счисления, а также узнают многое другое, что поможет в дальнейшем находить красивые и нестандартные подходы к решению задач.

Перечисленные ниже темы во многом расширяют представления учащихся о теории чисел. В школьной программе многие из этих тем не рассматривается.

Делимость. Деление с остатком. Делители. Простые числа. НОД и НОК. Основная теорема арифметики. Бесконечность множества простых чисел. Алгоритм Евклида. Линейные уравнения в целых числах с двумя неизвестными.

Двоичная система счисления. Другие системы.

Арифметика остатков. Сравнения. Простейшие теоремы: малая теорема Ферма, "китайская теорема" об остатках и т.п. Понятие о числовом поле, конечные поля.

Некоторые приемы решения уравнений в целых числах. Геометрические иллюстрации.

Многочлены

Изучение многочленов в заочной школе в значительной степени расширяет и углубляет знания учащихся, подводит к решению задач "экономического" характера. Большинство из перечисленных ниже тем дается в средней школе в лучшем случае факультативно.

Многочлены четные и нечетные. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера. Теорема Безу. Графики многочленов, многочлены Чебышева. Симметрические многочлены. Интерполяция. Кубический трехчлен, решение кубического уравнения (формула Кордано). Бином Ньютона, треугольник Паскаля.

Метод координат

Учащимся показывают универсальность этого метода решения задач. Предлагают задачи не только вычислительного, но и исследовательского характера.

Числовая ось. Расстояние на прямой и на плоскости. Модуль действительного числа. Линейные и кусочно-линейные функции.

Множества точек. Задание множеств уравнениями и неравенствами в координатах.

Прямая. Уравнение прямой (различные формы). Расстояние прямой до начала координат, расстояние от точки до прямой. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямыми.

Окружность. Уравнение окружности. Уравнение касательной к окружности.

Кривые второго порядка и их простейшие свойства.

Пространство трех и большего числа измерений. Координаты в пространстве. Фигуры в пространстве. Задание фигур. Плоскость. Уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние плоскости до начала координат. Шар и сфера. Гиперплоскость.

Примеры использования метода координат при решении геометрических задач.

Куб - от одномерного до четырехмерного. Вершины, ребра и грани куба. Свойства куба.

Сфера большого числа измерений.

Функции и графики

В программе математического отделения в целях большего разнообразия и занимательности учебного материала уделяется внимание таким упражнениям, в которых функции и графики функций как бы меняются местами. Ценность такого рода заданий состоит в том, что при их решении происходит активизация соответствия "функция - график функции".

Функция, график функции. Основные понятия: область определения, множество значений, монотонность, корни, экстремумы, выпуклость и вогнутость, непрерывность. Квадратный трехчлен. Преобразование графиков функций. Четные и нечетные функции. Дробно-линейная и другие рациональные функции. Касательная к графику.

Сложные функции. График сложной функции.

Параметрическое задание функции. График параметрически заданной функции.

Многочлен. Умножение и деление многочленов. Теорема Безу. Графики кубических и других многочленов. Многочлены с целыми коэффициентами.

Корни.

Числа целые, рациональные, иррациональные. Сопряженные числа. Формулы Виета. Разложение многочленов на множители. Основная теорема алгебры многочленов (теорема Гаусса).

Симметрические многочлены от двух и большего числа переменных.
Тригонометрические функции. Их основные свойства и графики.
Логарифмическая шкала. Основные свойства логарифмов. Функция . Число e. Логарифмическая функция и экспонента.

Приближение функций многочленами и тригонометрическими многочленами, интерполяция. Многочлены Чебышева. Формула бинома Ньютона.

Уравнения и неравенства

Это одна из основных тем школьной программы. Однако, как показывает опыт, учащиеся зачастую подходят к решению уравнений формально, не вдумываясь, что происходит с уравнениями или неравенствами в процессе преобразования. Поэтому большое внимание уделяется равносильности преобразований. Школьники учатся преодолевать не только чисто технические трудности, но и в значительной мере логические.

Основные понятия. Преобразование. Равносильность, следствие. Решение неравенств методом интервалов.

Замена переменных. Некоторые типы рациональных уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств: линейные, симметричные, возвратные и т.п. Геометрический смысл линейного уравнения и неравенства с двумя переменными. Понятие о задачах линейного программирования, целочисленного программирования.

Иррациональные уравнения, неравенства и их системы. Техника решения и особенности.

Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы. Отбор корней, удовлетворяющих заданным условиям. Специфические приемы решения задач с использованием тригонометрических функций.

Показательные и логарифмические уравнения, неравенства и их системы.

Параметр. Примеры решения уравнений и неравенств с параметрами.

Элементы математического анализа

Нестандартный подход при изучении тем дает возможность учащимся ВЗМШ гораздо глубже усвоить столь непростые понятия, как предел и производная.

Последовательности и пределы. Вычисление сумм. Метод полной математической индукции, его применения в геометрии, алгебре, комбинаторике. Доказательство тождеств и неравенств. Оценки сумм и произведений.

Последовательность, основные понятия и свойства: монотонность, ограниченность. Подпоследовательность. Примеры последовательностей: прогрессии, последовательность чисел Фиббоначчи.

Понятие действительного числа. Основные свойства, действия и операции над действительными числами. Порядок, плотность.
Понятие предела числовой последовательности и функции. Правила и приемы вычисления. Основные теоремы.

Ряд, его сумма. Сходимость ряда. Степенной ряд. Разложение функций в степенные ряды.

Цепные дроби: основные понятия и теоремы.

Поведение функции "в малой окрестности" точки и "на бесконечности". Асимптоты.

Производная, ее геометрический и физический смысл. Основные теоремы. Производные основных элементарных функций. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Дифференциал. Построение графиков функций с помощью производной. Применение производной к задачам на нахождение экстремумов. Приближенные вычисления. Приближенные методы решения уравнений и неравенств.

Понятие об интеграле. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Основные свойства. Таблица интегралов. Некоторые приемы интегрирования. Интеграл от 1/x - натуральный логарифм. Оценка сумм с помощью интегралов, приближенные вычисления. Площади и объемы геометрических фигур. Принцип Кавальери. "Сапог Шварца".

Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.
Дифференциальное уравнение. Основные понятия. Линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядков. Экспоненциальный рост.

Гармонические колебания.

Комплексные числа

В настоящее время эта тема в школьной программе отсутствует, поэтому наши задания расширяют представления учащихся о числе.

История развития понятия числа. Расширение поля. Комплексные числа, основные понятия и определения: модуль, аргумент, геометрический смысл, тригонометрическая и показательная форма; основные операции - арифметические, сопряжения, функции Re(z) и Im(z). Формулы Эйлера. Бином Ньютона. Формула Муавра. Возведение в степень и извлечение корня.

Многозначность.

Многочлены с комплексными коэффициентами. Корни. Основная теорема алгебры (теорема Гаусса), ее доказательство ("Дама с собачкой"). Разложение многочленов на множители над C и над R.

Применения к геометрии. Векторы. Отображения. Преобразования комплексной плоскости. Инверсия.

Последовательности и пределы. Понятие функции комплексного переменного. Дифференцируемость. Многолистность. Понятие конформного отображения.

Введение в комбинаторику

В школьной программе изучаются некоторые элементы комбинаторики. Программа ВЗМШ позволяет легко и доступно подвести учащихся восьмых классов к освоению этой темы, которая в школе рассматривается достаточно формально. В значительной степени расширяются и углубляются знания учащихся.

Множества, подмножества. Формула включений-исключений, диаграммы (круги) Эйлера-Венна. Упорядоченные пары. Отображения, понятия преобразования, инварианта.

Правила суммы, произведения. Число наборов. Число подмножеств.

Перестановки, размещения, сочетания без повторения и с повторениями, их количество. Физические примеры.

Конечные множества. Булевы алгебры. Игры, стратегии.

Элементы теории вероятностей и математической статистики

Комбинаторное определение вероятности. Равновероятные события. Сложение и вычитание вероятностей. Формула включений и исключений. Умножение вероятностей. Независимые события. Условные вероятности. Последовательность независимых испытаний и схема Бернулли. Вероятностное пространство.

Интеграл и вероятность. Геометрические вероятности.
Случайная величина. Закон распределения, плотность и функция распределения. Среднее значение. Математическое ожидание. Дисперсия. Теорема Чебышева и закон Больших чисел. Понятие о предельных теоремах теории вероятностей. Нормальное распределение. Распределения Гаусса и Пуассона.

Выборка. Параметры выборки. Основная задача статистики. Точечные и интервальные оценки параметров выборки.

Понятие о цепях Маркова.

Геометрия

Работа начинается с простых и понятных школьнику фактов. Однако постепенно учащихся подводят к решению задач, требующих длительных размышлений. Большое внимание уделяется поиску и различным методам решения задач. Некоторые пособия строятся так, что на примере одной задачи рассматриваются различные приемы и методы решения, порой неожиданные для учащегося. Это дает возможность более глубоко проникать в суть поставленных проблем.

Симметрия. Задачи на построение. Кратчайшие пути (отражение). Разрезание и складывание. Сумма углов треугольника. Вписанные углы.

Основные теоремы и формулы планиметрии. Теорема Фалеса. Треугольник. Вписанная и описанная окружности. Медианы и высоты. Теорема Пифагора. Биссектрисы. Четырехугольники. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

Окружность и секущие. Подсчет углов. Вспомогательная окружность.

Неравенство треугольника.

Площади многоугольников. Аддитивность. Основные формулы. Свойства площади, используемые в подсчетах. Доказательства с помощью площадей.

Площадь и метод координат. Понятие о псевдоскалярном произведении векторов. Площадь и интеграл.

Множества точек на плоскости. Свойства, определяющие прямую и окружность. Равномерное движение по прямой и окружности. Основные геометрические места точек. Построения. Неравенства и области на плоскости (логические комбинации). Задачи на экстремум. Траектории прямолинейных и круговых движений. Функции на плоскости и системы линий. Знакомство с кривыми второго порядка.

Основные геометрические места точек в пространстве. Семейства плоскостей и поверхностей в пространстве.

Пропорциональные отрезки, проекции. Подсчеты отношений отрезков. Прямоугольная и наклонная проекция на прямую, на плоскость. Проекция плоскости на прямую. Прямые и плоскости в пространстве. Как нарисовать куб, параллелепипед и другие многогранники. Проекция пространства на плоскость и на прямую.

Ломаные линии. Сумма углов. Сумма углов треугольника и многоугольника. Ломаные на поверхности куба; кратчайшие пути. Развертка поверхности многогранника. Теорема Эйлера для карты и многогранника.

Сфера; большие круги, треугольники, сумма углов.
Геометрические преобразования. Параллельные переносы, симметрии относительно точки и относительно прямой, движения. Применения к построению ломаных наименьшей длины. Гомотетия. Задачи на построение.

Задачи на подобие треугольников и других фигур. Преобразование подобия. Неподвижные точки. Понятие классификации подобных преобразований 1-го и 2-го рода. Примеры преобразований пространства (движения, симметрии, повороты, гомотетия). Понятие группы преобразований. Задачи про окружности. Знакомство с инверсией.

Векторы: сложение, умножение на число, скалярное произведение. Координаты векторов. Понятие об аффинном и проективном преобразовании.

Куб и другие многогранники. Семейство сечений. Метод координат и векторы в геометрических вычислениях. Углы между прямыми и плоскостями, между плоскостями. Свойства тетраэдра. Полуправильные тетраэдры.
Прямоугольная проекция, теорема о трех перпендикулярах. Вписанные цилиндры и шары. Правильные многогранники.

Площадь фигуры, площадь поверхности, объем. Основные формулы. Геометрическое дифференцирование. Задачи на вычисление площадей и объемов. Задачи на экстремум (геометрические и аналитические методы решения). Использование интеграла.

Элементы топологии. Формула Эйлера.