ОЛ ВЗМШ при МГУ: Отделение математики: Избранные задачи математического отделения

ОЛ ВЗМШ при МГУ: Отделение математики


Избранные задачи Вопрос-Ответ

Авторы

Программы, темы

Поступающим

В помощь нашим ученикам

Отдохнуть

Если хочешь больше знать

Листовки к пособиям

Вход для наших учеников
Личный номер
Пароль

Избранные задачи

Решение

Является ли полным квадратом число 1995·1996·1997·1999·2000·2001+36?

Решение

Фирма "Пупс" купила на распродаже автомобиль на 35% ниже начальной цены, а продала - на 25% ниже начальной цены. Сколько процентов прибылиона получила*)?

*) то есть сколько процентов составляет прибыль от затраченных денег.

Решение

Из 24 бочонков одинакового объёма 5 заполнены водой доверху, 11 - наполовину и 8 - пустых. Как разделить их между тремя людьми так, чтобы каждому досталось по одинаковому количеству бочонков и равному количеству воды?

Решение

Сколько существует окружностей, касающихся трех данных равных непересекающихся кругов (снаружи или изнутри), если центры кругов являются вершинами правильного треугольника?

Решение

Пусть $m$ и $n$ - целые числа. Если сложить их сумму, разность, произведение и частное, получится 150. Найдите $m$ и $n$ .

Решение

Две окружности пересекаются в точках $A$ и $D$ . Через точку $A$ проведена прямая, пересекающая окружности еще в точках $P$ и $Q$ . Найдите геометрическое место середин отрезков $PQ$ , если вращать прямую $PQ$ вокруг точки $A$ .

Решение

Решите систему уравнений:

$\left{ {{ x \cdot (x+1) \cdot (3x+5y) =144 } \atop { x^2 +4x +5y=24} }\right$

Решение

В первом ящике 68 шаров, а во втором - 97. Двое играющих поочередно берут шары, причем за один ход игрок может взять из любого (но только одного) ящика произвольное количество имеющихся в нем шаров. Выигрывает берущий последние шары. Кто выигрывает при правильной игре, начинающий или его парт-нер, и как надо для этого играть?

Решение

Пусть $ABC$ - правильный треугольник. На продолжении $CE$ стороны $AC$ построили новый правильный треугольник, $CDE$ , причем точка $D$ лежит по ту же сторону от прямой $AC$ , что и точка $B$ . Пусть $M$ - середина отрезка $AD$ , $N$ - середина отрезка $BE$ . Верно ли, что треугольник $CMN$ - тоже правильный?

Решение

По кругу бегают три человека. Один из них пробегает круг за 4 минуты, другой - за 5, третий - за 6. Вначале они находились в одной точке. Сколько всего будет попарных встреч до того момента, когда они все трое снова встретятся вместе, если все трое бегут в одном направлении?

Решение

Найдите все четырехзначные числа, которые после отбрасывания первой цифры уменьшаются в 19 раз.

Решение

Семь девочек и семь мальчиков решили разделиться на две команды. Они встали в круг и начали считаться (по часовой стрелке). Каждый шестой из ребят выходил из круга и шел во вторую команду. Когда все семь членов второй команды определились, оказалось, что она состоит из одних мальчиков. Как стояли ребята по кругу вначале и с кого начали считать?

Решение

Какое число больше: $500^600$ или $600^500$ ?

Решение

Существуют ли два таких выпуклых четырехугольника, что один расположен внутри другого и при этом сумма диагоналей внутреннего четырехугольника больше суммы диагоналей внешнего?