ОЛ ВЗМШ при МГУ: Отделение математики: Избранные задачи математического отделения

ОЛ ВЗМШ при МГУ: Отделение математики


Избранные задачи Вопрос-Ответ

Авторы

Программы, темы

Поступающим

В помощь нашим ученикам

Отдохнуть

Если хочешь больше знать

Листовки к пособиям

Вход для наших учеников
Личный номер
Пароль

Избранные задачи

Пусть $m$ и $n$ - целые числа. Если сложить их сумму, разность, произведение и частное, получится 150. Найдите $m$ и $n$ .

Решение. Из условия имеем: $(m+n)+(m-n)+(m \cdot n) +\frac{m}{n} =150,$ откуда, приведя к общему знаменателю, получим:

(*) $m \cdot (n+1)^2 = 150-n$ .

Поскольку числа $n$ и $n +1$ взаимно просты (т.е. не имеют общих делителей, не равных 1),
из равенства (*) вытекает, что 150 должно
делиться на $(n+1)^2$ ,
а т.к. 150 = 1·2·3·5²,
причем, как мы знаем, $1=1^2$ ,
поэтому число $n+1$ может
равняться либо 1, либо -1, либо 5, либо -5,
тогда $n$ равно соответственно
либо 0, либо -2, либо 4, либо -6.

Если n=0, не определено частное чисел m и n,
так что этот случай отпадает.
Если
n=4, то m=24, а при n=-6
m=-36.
При n=-2 из условия находим m= -300.