Избранные задачи
| Существуют ли два таких выпуклых четырехугольника, что один расположен внутри другого и при этом сумма диагоналей внутреннего четырехугольника больше суммы диагоналей внешнего? |
Решение. Сначала опишем требуемый пример неформально. Предположим, что у внешнего четырехугольника одна диагональ очень длинная, а другая - очень короткая. В качестве внутреннего возьмем длинный и узкий прямоугольник, вытянутый вдоль большей ио диагоналей (такой, чтобы его длина почти равнялась длине диагонали). Тогда каждая из диагоналей внутреннего четырехугольника почти равна большей диагонали внешнего (обозначим её длину через а); сумма диагоналей внутрен-него четырехугольника примерно равна 2а, а сумма диагоналей внешнего четырехугольника лишь ненамного превосходит a; так как 2а > а, четырехугольники удовлетворяют нашим требованиям.
Приведем теперь конкретный пример таких четырехугольников. Воаьмем в качестве внешнего четырехугольника ромб ABCD, у которого АС=100см, BD=10см. Внутри этого ромба расположим прямоугольник KLMN, удовлетворяющий следующим условиям:
- его центр совпадает с центром ромба
- KL||AC, LM||BD
- KL = 80см, LM = 1см
 Нетрудно подсчитать, что при таком расположении прямоугольник действительно поместится внутри ромба. В самом деле, так как KN=1см, то OF=0,5см, BF - 4,5см; если продолжить сторону KL до пересечения со сторонами ромба, то из подобия треугольников ABC и GBH получаем, что GН = (BF/BO)·AC = 90см, так что прямоугольник с высотой 1см и меньшей, чем GH, длиной 80см внутрь ромба заведомо поместится. Теперь заметим, что сумма длин диагоналей равна 110см у ромба и
 сантиметров у прямоугольника; так как  (что легко проверяется возведением в жвадрат обеих частей), то искомый пример построен. |
|
