Решение. Будем различать два случая:
а) когда точка А лежит между точками Р и Q;
б) когда точка А лежит вне отрезка PQ
(рис. а и 6 соответственно.)
Пусть АВ и АС - диаметры
данных окружностей, тогда отрезки ВР и CQ
перпендикулярны прямой PQ
(вписанные в данные окружности углы ВРА
и CQA опираются на их диаметры и поэтому прямые).
Обозначим через М середину отрезка PQ,
а через К - середину отрезка ВС.
Тогда отрезок МК перпендикулярен отрезку PQ:
в случае а) - как средняя линия трапеции BPQC,
а в случае б) - как отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции BPCQ. В обоих слу-чаях угол АМК -
прямой, поэтому точка М лежит на окружности с
диаметром АК. Заметим теперь,
что мы рассмотрели не все возможности.
Во-первых, наши рассуждения не проходят
в случаях, когда середины хорд - сами точки А и К.
Но существуют такие положения прямой
PQ, когда эти точки будут серединами
соответствующих отрезков - нарисуйте сами.
Во-вторых, наши рассуждения не годятся для прямой AD,
так как в этом случае точки Р и Q
сливаются в одну (точку D) и в качестве
середины отрезка PQ естественно также
считать саму точку D. Но и она
лежит на указанной окружности,
так как известно, что общая хорда
двух пересекающихся окружностей перпендикулярна
их линии центров, а линия центров
параллельна отрезку ВС: в
треугольнике ABC отрезок О1О2 -
средняя линия; таким образом,
угол ADK - прямой, поэтому точка D
лежит на окружности с диаметром АК.
Итак, если точка М принадлежит
искомому геометрическому месту точек,
то она лежит на окружности с
диаметром АК.
Очевидно, вся эта окружность
входит в искомое геометрическое место точек.
Ответ: окружность с диаметром АК.
|
