ОЛ ВЗМШ при МГУ: Отделение математики: Избранные задачи математического отделения

ОЛ ВЗМШ при МГУ: Отделение математики


Избранные задачи Вопрос-Ответ

Авторы

Программы, темы

Поступающим

В помощь нашим ученикам

Отдохнуть

Если хочешь больше знать

Листовки к пособиям

Вход для наших учеников
Личный номер
Пароль

Избранные задачи

Пусть $ABC$ - правильный треугольник. На продолжении $CE$ стороны $AC$ построили новый правильный треугольник, $CDE$ , причем точка $D$ лежит по ту же сторону от прямой $AC$ , что и точка $B$ . Пусть $M$ - середина отрезка $AD$ , $N$ - середина отрезка $BE$ . Верно ли, что треугольник $CMN$ - тоже правильный?

Решение. Пусть AB; в случаях AB>CD и AB=CD рассуждения аналогичны.

$Треугольники$

Повернем отрезок BE вокруг точки С на 60^o против часовой стрелки. Тогда точка В перейдет в точку А, а точка Е - в точку D, поэтому отрезок BE перейдет в отрезок AD, а значит, и середина N отрезка BE - в середину М отрезка AD.

Таким образом, отрезки CN и СМ равны, а угол между ними равен 60^o, поэтому треугольник CMN - равносторонний.

Ответ: верно