ОЛ ВЗМШ при МГУ: Отделение математики |
||
|
 |
|
| Избранные задачи Вопрос-Ответ | ||
Избранные задачи
| По кругу бегают три человека. Один из них пробегает круг за 4 минуты, другой - за 5, третий - за 6. Вначале они находились в одной точке. Сколько всего будет попарных встреч до того момента, когда они все трое снова встретятся вместе, если все трое бегут в одном направлении? |
| Решение. Обозначим длину окружности через с. Тогда скорость первого человека равна c/4(ед длины/мин). скорость второго - c/5(ед длины/мин). скорость третьего человека равна c/6(ед длины/мин). Основное, что надо понять - если два человека бегут в одном направлении по кругу, то один впервые нагонит другого после совместного старта только после того, как пробежит ровно на один круг больше. Пусть tl,2 - время, через которое впервые после старта первый человек догнал второго, тогда за это время первый пробежал на с единиц длины больше второго: Аналогично находим, что tl,3=12, t2,3=30. Итак, первый догоняет второго каждые 20 мин, а третьего - каждые 12 мин; второй догоняет третьего каждые 30 мин. Поскольку наименьшее общее кратное (НОК) трех этих чисел равно 60, все трое они снова впервые встретятся через час. До этого времени первый догонит второго 2 раза (через 20мин и через 40 мин после старта), первый третьего - 4 раза, а второй третьего - один раз (через ЗОмин после старта). Всего, таким образом, попарных встреч будет 2+4+1=7. |
