ОЛ ВЗМШ при МГУ: Отделение математики

Эллипс, гипербола, парабола

Эллипс

Пусть на плоскости даны две точки и .

Определение. Эллипсом называют множество точек плоскости таких, что сумма растояний от каждой из таких точек до и постоянна. Иными словами,  в том и только том случае, когда равно фиксированному числу. Точки , называются фокусами эллипса.

Наша цель здесь - получить уравнение эллипса.

Для этого введем систему координат на плоскости так, чтобы точки и имели бы координаты и соответственно:

Пусть точка плоскости такова, что . Здесь и - фиксированные положительные числа. Таким образом, и, как следует из неравенства треугольника, . Причем равенство здесь выполняется только в том случае, когда лежит между и , и этот случай мы рассматривать не будем.

Перепишем равенство в координатах:

(1)

Это уравнение и есть уравнение эллипса в выбранной системе координат. Единственное, что осталось нам сделать - это избавиться в нем от иррациональности и привести его к удобному для восприятия виду, называемому каноническим уравнением эллипса. Для этого перенесем один из радикалов в правую часть и возведем результат в квадрат:

или, после очередных преобразований,

Так как , то положительно. Обозначив его через , перепишем последнее уравнение так:

Разделив обе части этого равенства на , получим такой результат:

(1*)

Мы только что установили, что если точка принадлежит эллипсу, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1*). Нам осталось проверить и обратное: если координаты точки удовлетворяют (1*), то принадлежит эллипсу, то есть сумма постоянна.

Найдем расстояния и :

и, учтя, что , получим

.

Аналогично,

.

Из этого и следует равенство . А это значит, что если координаты точки удовлетворяют уравнению (1*), то - точка эллипса. Уравнение (1*) называют каноническим уравнением эллипса.

Обратите внимание, что если в (1*) , то мы получим уравнение окружности радиуса , а фокусы при этом совпадут.

Гипербола

Как учат в школе, графиком функции является гипербола. Мы посмотрим на гиперболу несколько с иной точки зрения.

Пусть на плоскости даны две точки и .

Определение. Гиперболой называют множество точек плоскости таких, что модуль разности растояний от каждой из таких точек до и постоянна. Иными в том и только том случае, когда постоянен Точки , называются фокусами гиперболы.

Для того, чтобы получить уравнение гиперболы, воспользуемся методом, который аналогичен тому, что был использован в случае эллипса.

Введем систему координат на плоскости так, чтобы фокусы и имели бы координаты и соответственно:

Пусть точка плоскости такова, что . Здесь и - фиксированные положительные числа. Таким образом, и, как следует из неравенства треугольника, . Однако, если , то либо , либо . А это означает, что лежит на одном из лучей, дополняющих до прямой отрезок . Поэтому этот случай мы рассматривать не будем.

Перепишем равенство в координатах:

(2)

или

(2`)

С этим уравнением поступим также, как в случае эллипса мы поступили с уравнением (1):

.

Произведя необходимые преобразования дальше, получим:

, или, принимая во внимание то, что положительно, для .

Поделив обе части полученного уравнения на , получим:

(2*)

Осталось доказать, что (2*) - действительно уравнение гиперболы: как и в случае эллипса, мы должны проверить, что если координаты точки удовлетворяют (2*), то принадлежит гиперболе, то есть справедливо равенство .

Имеем:

.(*)

Совершенно аналогично

(**).

Нам нужно выбрать знак перед скобками так, чтобы каждон из выражений было положительным. Из (2*) замечаем, что . Кроме того, . При положительном внутри скобок в (*) стоит положительное число, а внутри скобок из (**) - отрицательное число. Поэтому при и , а . Случай рассматривается аналогично, и приводит к равенству .

Таким образом уравнение (2*) действительно является уравнением гиперболы. Его называют каноническим уравнением гиперболы.

Разберемся теперь, как соотносится уравнения (2*) и , которое нам известно из школы. Для этого перепишем "школьное" уравнение в виде

(Ш)

и сделаем сначала такую замену переменных:

Тогда уравнение (Ш) примет вид

для подходящих и .(Ш*)

Это уравнение уже более похоже на уравнение (2*), нам осталось избавиться в нем от суммы . Для этого сделаем такую замену переменных:

После такой замены (Ш*) примет вид при подходящем значении . Интересующийся читатель сможет без труда установить,что не равно нулю и привести полученное уравнение к каноническому виду.

Парабола

В школе говорят, что парабола - это график функции . Как хорошо известно, эту параболу можно сдвинуть по плоскости так, что ее вершина окажется в начале координат, а уравнение примет вид . Мы, как и выше поступили с гиперболой, дадим геометрическое определение параболы и получим ее каноническое уравнение.

Возьмем точку на плоскости и прямую , которая не проходит через .

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от точки , называемой фокусом параболы ии прямой , называемой директриссой параболы.

Приступим к получению канонического уравнения параболы. Предположим, что расстояние между и равно . Введем систему координат так, что будет иметь координаты , а - уравнение .

Пусть точка принадлежит параболе. Тогда тот факт, что она равноудалена от и записывается так:

.

После возведения в квадрат этого уравнения, будем иметь , откуда получается

(3)

Нам осталось проверить, что всякая точка координаты которой удовлетворяют уравнению (3), будет равноудалена от и . Поскольку положительно, , из чего следует, что . Заменяя здесь на из (3), получим . То есть действительно равноудаленна от и .